数理形態学 — Mathematical morphology

2D/3D Cellular Automaton上の個体・細胞の分布を評価したい。そのためには白黒の二値画像処理の手法が結構使える。

図形 X: それぞれのノード(画素)の在・不在情報の集合。 $x \in X$
構造要素 (Structuring Element: SE): さまざまな処理を施すために用いられる単位図形のようなもの。例えば、原点とそのムーア近傍。 $b \in B$
voxel: 3D空間における単位。2Dでいうpixel。

基本処理

\[ X_b = \{x + b \mid x \in X\} \]

\[ X \oplus B = \bigcup_{b \in B} X_b \]

X と B のMinkowski和。 X を B の範囲でずらしながらunionを取ったもの。国土をX 、半径12海里の円をSEとした、領空みたいなイメージ。

\[ X \ominus B = \bigcap_{b \in B} X_b \]

X と B のMinkowski差。 X を B の範囲でずらしながらintersectを取ったもの。 SEを消しゴムとして X の外周上を走らせ、削るイメージ。

\[ X \circ B = (X \ominus B) \oplus B \]

浸食してから膨張する。 X からハミ出ないようにSEを滑らせた軌跡に相当する。トゲの先端や X 外部のチリなど、SEより小さい構造が削られて小さくなる。特定の形を持ったSEを使えば、それを含む領域だけを抽出するのにも使える。

元画像との差分 $X - (X \circ B)$ は Top Hat と呼ばれ、トゲの先っちょや背景のノイズ成分が得られる。

\[ X \bullet B = (X \oplus B) \ominus B \]

膨張してから浸食する。 X の外部をOpeningすることと同義。 X 内部のヒビやチリなど、SEより小さい構造が塗りつぶされ、大きくなる。

元画像との差分 $(X \bullet B) - X$ は Black Hat と呼ばれ、 X 内のヒビやトゲの根元らへんが得られる。

小さいSEから順に大きくしながら Openingで削れた部分の面積を記録していく。元画像の面積で割ったものはサイズ密度関数(size density function)と呼ばれる。細かいギザギザを含む図形ほど小さいSEで削れる成分が多い。要約統計量としてはモーメントやエントロピーが使える。

\[ (X \oplus B) - (X \ominus B) \]

dilationとerosionの差。エッジ検出法のひとつ。 X上の境界が欲しい場合は$X - (X \ominus B)$。背景側の境界が欲しい場合は$(X \oplus B) - X$。

平滑化フィルタ: SEを端から端まで動かしつつ、その中に含まれる画素の平均値を中央画素に適用していく。 Gaussian filterのように、遠いものほど軽くなるように重み付けをする場合もある。いずれにせよ、エッジがボヤけてしまうのが問題。
Median filter: 平均値ではなく中央値で置き換える。エッジは保存されるが、ソートを伴うので計算量は多め。

画像処理を施す

scikit-image: Pythonモジュール。 scipy.ndimage を更に拡張したもの。 numpy.array を使って表現されるので汎用関数の適用も容易。
OpenCV (Open Source Computer Vision): C++、Pythonなど。信頼と実績があるらしく、書籍やネット上の情報も多い。
CImg: C++。ヘッダひとつincludeするだけ。ドキュメントも良さげ。
imager: R。新しめでドキュメントも充実。内部でCImgを利用。 CairoやX11に依存しているので、 Rもそれらしくビルドされてる必要がある。
mmand: R。READMEは良さげ。内部はRcpp。ほとんど他のライブラリに依存していないのでインストールしやすい。
Morpho: R。ドキュメント不足。