Heavy Watal

数理形態学 — Mathematical morphology

2D/3D Cellular Automaton上の個体・細胞の分布を評価したい。 そのためには白黒の二値画像処理の手法が結構使える。

図形 X
それぞれのノード(画素)の在・不在情報の集合。 $x \in X$
構造要素 (Structuring Element: SE)
さまざまな処理を施すために用いられる単位図形のようなもの。 例えば、原点とそのムーア近傍。 $b \in B$
voxel
3D空間における単位。2Dでいうpixel。

基本処理

Translation 平行移動

$$\begin{split} X_b = \{x + b \mid x \in X\} \end{split}$$

Dilation 膨張

$$\begin{split} X \oplus B = \bigcup_{b \in B} X_b \end{split}$$

XB のMinkowski和。 XB の範囲でずらしながらunionを取ったもの。 国土をX 、半径12海里の円をSEとした、領空みたいなイメージ。

Erosion 浸食

$$\begin{split} X \ominus B = \bigcap_{b \in B} X_b \end{split}$$

XB のMinkowski差。 XB の範囲でずらしながらintersectを取ったもの。 SEを消しゴムとして X の外周上を走らせ、削るイメージ。

Opening

$$\begin{split} X \circ B = (X \ominus B) \oplus B \end{split}$$

浸食してから膨張する。 X からハミ出ないようにSEを滑らせた軌跡に相当する。 トゲの先端や X 外部のチリなど、SEより小さい構造が削られて小さくなる。 特定の形を持ったSEを使えば、それを含む領域だけを抽出するのにも使える。

元画像との差分 $X - (X \circ B)$ は Top Hat と呼ばれ、 トゲの先っちょや背景のノイズ成分が得られる。

Closing

$$\begin{split} X \bullet B = (X \oplus B) \ominus B \end{split}$$

膨張してから浸食する。 X の外部をOpeningすることと同義。 X 内部のヒビやチリなど、SEより小さい構造が塗りつぶされ、大きくなる。

元画像との差分 $(X \bullet B) - X$ は Black Hat と呼ばれ、 X 内のヒビやトゲの根元らへんが得られる。

応用

Pattern Spectrum, サイズ分布

小さいSEから順に大きくしながら Openingで削れた部分の面積を記録していく。 元画像の面積で割ったものはサイズ密度関数(size density function)と呼ばれる。 細かいギザギザを含む図形ほど小さいSEで削れる成分が多い。 要約統計量としてはモーメントやエントロピーが使える。

Morphological gradient

$$\begin{split} (X \oplus B) - (X \ominus B) \end{split}$$

dilationとerosionの差。 エッジ検出法のひとつ。 X上の境界が欲しい場合は$X - (X \ominus B)$。 背景側の境界が欲しい場合は$(X \oplus B) - X$。

ノイズ除去

平滑化フィルタ
SEを端から端まで動かしつつ、その中に含まれる画素の平均値を中央画素に適用していく。 Gaussian filterのように、遠いものほど軽くなるように重み付けをする場合もある。 いずれにせよ、エッジがボヤけてしまうのが問題。
Median filter
平均値ではなく中央値で置き換える。 エッジは保存されるが、ソートを伴うので計算量は多め。

ライブラリ

画像処理を施す

scikit-image
Pythonモジュール。 scipy.ndimage を更に拡張したもの。 numpy.array を使って表現されるので汎用関数の適用も容易。
OpenCV (Open Source Computer Vision)
C++、Pythonなど。信頼と実績があるらしく、書籍やネット上の情報も多い。
CImg
C++。ヘッダひとつincludeするだけ。 ドキュメントも良さげ。
imager
R。新しめでドキュメントも充実。内部でCImgを利用。 CairoやX11に依存しているので、 LinuxbrewのRで使おうとすると膨大なxorg関連ライブラリを入れる羽目になる。
mmand
R。READMEは良さげ。内部はRcpp。 ほとんど他のライブラリに依存していないのでインストールしやすい。
Morpho
R。ドキュメント不足。