進化学実習 2022 牧野研

6. 統計モデリング1: 確率分布、尤度

データを使ってやりたいこと

• 現象を理解したい
• 将来を予測したい
• ものを分類・判別したい
• 挙動を制御したい
• 新しい何かを生成したい

そのために解析は必要？ 未加工の生データこそ宝？

データ解析って必要？ 生データ見ればいいべ？

往々にして複雑過ぎ、情報多すぎ、そのままでは手に負えない

print(ggplot2::diamonds)

      carat       cut color clarity depth table price     x     y     z
      <dbl>     <ord> <ord>   <ord> <dbl> <dbl> <int> <dbl> <dbl> <dbl>
    1  0.23     Ideal     E     SI2  61.5    55   326  3.95  3.98  2.43
    2  0.21   Premium     E     SI1  59.8    61   326  3.89  3.84  2.31
    3  0.23      Good     E     VS1  56.9    65   327  4.05  4.07  2.31
    4  0.29   Premium     I     VS2  62.4    58   334  4.20  4.23  2.63
   --                                                                  
53937  0.72      Good     D     SI1  63.1    55  2757  5.69  5.75  3.61
53938  0.70 Very Good     D     SI1  62.8    60  2757  5.66  5.68  3.56
53939  0.86   Premium     H     SI2  61.0    58  2757  6.15  6.12  3.74
53940  0.75     Ideal     D     SI2  62.2    55  2757  5.83  5.87  3.64

ダイヤモンド53,940個について10項目の値を持つデータセット

要約統計量を見てみよう

各列の平均とか標準偏差とか:

   stat carat depth table    price     x     y     z
  <chr> <dbl> <dbl> <dbl>    <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1  mean  0.80 61.75 57.46  3932.80  5.73  5.73  3.54
2    sd  0.47  1.43  2.23  3989.44  1.12  1.14  0.71
3   max  5.01 79.00 95.00 18823.00 10.74 58.90 31.80

大きさ carat と価格 price の相関係数は 0.92 (かなり高い)。

生のままよりは把握しやすいかも。

しかし要注意…

平均値ばかり見て可視化を怠ると構造を見逃す

作図してみると全体像・構造が見やすい

情報をうまく絞って整理 → 直感的にわかる

carat が大きいほど price も高いらしい。
その度合いは clarity によって異なるらしい。

統計とは

データをうまくまとめ、それに基づいて推論するための手法。

• 記述統計: データそのものを要約する
  • 要約統計量 (e.g., 平均、標準偏差、etc.)
  • 作図、作表
• 推測統計: データの背後にある母集団・生成過程を考える
  • 数理モデル
  • 確率分布
  • パラメータ(母数)

「グラフを眺めてなんとなく分かる」以上の分析にはモデルが必要

モデルとは

対象システムを単純化・理想化して扱いやすくしたもの

Mathematical Model 数理モデル

数学的な方程式として記述されるもの。

e.g., Lotka-Volterra eq., Hill eq.

Computational Model 数値計算モデル

数値計算の手続きとして記述されるもの。

e.g., Schelling’s Segregation Model, tumopp

Concrete Model 具象モデル

具体的な事物で作られるもの。

e.g., San Francisco Bay-Delta Model

データ科学における数理モデル

データ生成をうまく真似できそうな仮定の数式表現。
 

データ科学における数理モデル

データ生成をうまく真似できそうな仮定の数式表現。
e.g., 大きいほど高く売れる: $\text{price} = A \times \text{carat} + B + \epsilon$

新しく採れたダイヤモンドの価格予想とかにも使える。

このように「YをXの関数として表す」ようなモデルを回帰と呼ぶ。

今回は回帰を軸とした統計モデリングの解説

単純な直線あてはめから出発し、ちょっとずつ統計モデリング。

回帰は教師あり機械学習の一種とも言える

でも統計モデリングはいわゆる“機械学習”とは違う気もする…?

モデリングにおける2つのアプローチ

どっちも知っておいて使い分けたい

統計モデリングのお品書き

久保先生の"緑本"こと
「データ解析のための統計モデリング入門」
をベースに回帰分析の概要を紹介。

1. イントロ (#6 今回)
2. 統計モデルの基本
   • 確率変数・確率分布 👈 主役
   • 尤度・最尤推定
3. 一般化線形モデル、混合モデル (#7 次回)
4. ベイズ統計、階層ベイズモデル 今回はここまでやらない

回帰のキモは線ではなく分布。

回帰モデルの2段階

1. Define a family of models: だいたいどんな形か、式をたてる

   • 直線: $y = a_1 + a_2 x$
   • 対数: $\log(y) = a_1 + a_2 x$
   • 二次曲線: $y = a_1 + a_2 x^2$

2. Generate a fitted model: データに合うようにパラメータを調整

   • $y = 3x + 7$
   • $y = 9x^2$

https://r4ds.had.co.nz/model-basics.html

たぶん身長が高いほど体重も重い

なんとなく $y = a x + b$ でいい線が引けそう
 

たぶん身長が高いほど体重も重い

なんとなく $y = a x + b$ でいい線が引けそう
じゃあ切片と傾き、どう決める？

最小二乗法

回帰直線からの残差平方和(RSS)を最小化する。

残差平方和(RSS)が最小となるパラメータを探せ

ランダムに試してみて、上位のものを採用

残差平方和(RSS)が最小となるパラメータを探せ

グリッドサーチ: パラメータ空間の一定範囲内を均等に試す

こうした最適化の手法はいろいろあるけど、ここでは扱わない。

これくらいなら一瞬で計算してもらえる

par_init = c(intercept = 0, slope = 0)
result = optim(par_init, fn = rss_weight, data = df_weight)
result$par

intercept     slope 
-50.54532  67.18659 

上記コードは最適化一般の書き方。
回帰が目的なら次ページのようにするのが楽 →

lm() で直線あてはめしてみる

fit = lm(data = mpg, formula = hwy ~ displ)
broom::tidy(fit)

         term  estimate std.error statistic       p.value
        <chr>     <dbl>     <dbl>     <dbl>         <dbl>
1 (Intercept) 35.697651 0.7203676  49.55477 2.123519e-125
2       displ -3.530589 0.1945137 -18.15085  2.038974e-46

mpg_added = modelr::add_predictions(mpg, fit)
ggplot(mpg_added) + aes(displ, hwy) + geom_point() +
  geom_line(aes(y = pred), size = 1, color = "#3366ff")

🔰 diamonds などほかのデータでも lm() を試してみよう。

何でもかんでも直線あてはめではよろしくない

• 観察データは常に正の値なのに予測が負に突入してない？
• 縦軸は整数。しかものばらつきが横軸に応じて変化？

何でもかんでも直線あてはめではよろしくない

• 観察データは常に正の値なのに予測が負に突入してない？
• 縦軸は整数。しかものばらつきが横軸に応じて変化？
• データに合わせた統計モデルを使うとマシ

ちょっとずつ線形モデルを発展させていく

線形モデル LM (単純な直線あてはめ)

    ↓ いろんな確率分布を扱いたい 👈 統計モデルの重要な部品

一般化線形モデル GLM

    ↓ 個体差などの変量効果を扱いたい

一般化線形混合モデル GLMM

    ↓ もっと自由なモデリングを！

階層ベイズモデル HBM

「データ解析のための統計モデリング入門」久保拓弥 2012 より改変

確率分布

発生する事象(値)と頻度の関係。

手元のデータを数えて作るのが経験分布
e.g., サイコロを12回投げた結果、学生1000人の身長

一方、少数のパラメータと数式で作るのが理論分布。
(こちらを単に「確率分布」と呼ぶことが多い印象）

確率変数$X$はパラメータ$\theta$の確率分布$f$に従う…?

$X \sim f(\theta)$

e.g.,
コインを3枚投げたうち表の出る枚数 $X$ は二項分布に従う。
$X \sim \text{Binomial}(n = 3, p = 0.5)$

一緒に実験してみよう。

試行を繰り返して記録してみる

コインを3枚投げたうち表の出た枚数 $X$

試行1: 表 裏 表 → $X = 2$
試行2: 裏 裏 裏 → $X = 0$
試行3: 表 裏 裏 → $X = 1$ 続けて $2, 1, 3, 0, 2, \ldots$

コイントスしなくても $X$ らしきものを生成できる

• コインを3枚投げたうち表の出る枚数 $X$
• $n = 3, p = 0.5$ の二項分布からサンプルする乱数 $X$

$X \sim \text{Binomial}(n = 3, p = 0.5)$

   ↓ サンプル

{2, 0, 1, 2, 1, 3, 0, 2, …}

これらはとてもよく似ているので
「コインをn枚投げたうち表の出る枚数は二項分布に従う」
みたいな言い方をする。逆に言うと
「二項分布とはn回試行のうちの成功回数を確率変数とする分布」
のように理解できる。

統計モデリングの一環とも捉えられる

コイン3枚投げを繰り返して得たデータ {2, 0, 1, 2, 1, 3, 0, 2, …}

   ↓ たった2つのパラメータで記述。情報を圧縮。

$n = 3, p = 0.5$ の二項分布で説明・再現できるぞ

こういうふうに現象と対応した確率分布、ほかにもある？

有名な確率分布、それに「従う」もの

離散一様分布

コインの表裏、サイコロの出目1–6

幾何分布

成功率pの試行が初めて成功するまでの失敗回数

二項分布

成功率p、試行回数nのうちの成功回数

ポアソン分布

単位時間あたり平均$\lambda$回起こる事象の発生回数

ガンマ分布

ポアソン過程でk回起こるまでの待ち時間

(k = 1のとき指数分布と呼ばれる)

正規分布

確率変数の和、平均値

離散一様分布

同じ確率で起こるn通りの事象のうち実際に起こった事象X

e.g., コインの表裏、サイコロの出目1–6

🔰 一様分布になりそうな例を考えてみよう

幾何分布 $~\text{Geom}(p)$

成功率pの試行が初めて成功するまでの失敗回数X

e.g., コイントスで表が出るまでに何回裏が出るか

\[ \text{Prob}(X = k \mid p) = p (1 - p)^k \]

「初めて成功するまでの試行回数」とする定義もある。

🔰 幾何分布になりそうな例を考えてみよう

二項分布 $~\text{Binomial}(n,~p)$

確率$p$で当たるクジを$n$回引いたうち当たった回数X。平均は$np$。

\[ \text{Prob}(X = k \mid n,~p) = \binom n k p^k (1 - p)^{n - k} \]

🔰 二項分布になりそうな例を考えてみよう

ポアソン分布 $~\text{Poisson}(\lambda)$

単位時間(空間)あたりに平均$\lambda$回発生する事象が実際に起きた回数X。

e.g., 1時間あたりのメッセージ受信件数、メッシュ区画内の生物個体数

\[ \text{Prob}(X = k \mid \lambda) = \frac {\lambda^k e^{-\lambda}} {k!} \]

二項分布の極限 $(\lambda = np;~n \to \infty;~p \to 0)$。
めったに起きないことを何回も試行するような感じ。

指数分布 $~\text{Exp}(\lambda)$

ポアソン過程の事象の発生間隔x。平均は $1 / \lambda$ 。

e.g., メッセージの受信間隔、道路沿いに落ちてる手袋の間隔

\[ \text{Prob}(x \mid \lambda) = \lambda e^{-\lambda x} \]

幾何分布の連続値版。

🔰 ポアソン分布・指数分布になりそうな例を考えてみよう

ガンマ分布 $~\text{Gamma}(k,~\lambda)$

ポアソン過程の事象k回発生までの待ち時間x

e.g., メッセージを2つ受信するまでの待ち時間

\[ \text{Prob}(x \mid k,~\lambda) = \frac {\lambda^k x^{k - 1} e^{-\lambda x}} {\Gamma(k)} \]

指数分布をkのぶん右に膨らませた感じ。
shapeパラメータ $k = 1$ のとき指数分布と一致。

正規分布 $~\mathcal{N}(\mu,~\sigma)$

平均 $\mu$、標準偏差 $\sigma$ の美しい分布。よく登場する。
e.g., $\mu = 50, ~\sigma = 10$ (濃い灰色にデータの95%, 99%が含まれる):

\[ \text{Prob}(x \mid \mu,~\sigma) = \frac 1 {\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left(\frac {-(x - \mu)^2} {2\sigma^2} \right) \]

正規分布に近づくものがいろいろある

標本平均の反復(中心極限定理); e.g., 一様分布 [0, 100) から40サンプル

大きい$n$の二項分布

正規分布に近づくものがいろいろある

大きい$\lambda$のポアソン分布

平均値固定なら$k$が大きくなるほど左右対称に尖るガンマ分布

有名な確率分布対応関係ふりかえり

離散一様分布

コインの表裏、サイコロの出目1–6

幾何分布

成功率pの試行が初めて成功するまでの失敗回数

二項分布

成功率p、試行回数nのうちの成功回数

ポアソン分布

単位時間あたり平均$\lambda$回起こる事象の発生回数

ガンマ分布

ポアソン過程でk回起こるまでの待ち時間

(k = 1のとき指数分布と呼ばれる)

正規分布

確率変数の和、平均値。使い勝手が良く、よく登場する。

現実には、確率分布に「従わない」ことが多い

植物100個体から8個ずつ種子を取って植えたら全体で半分ちょい発芽。
親1個体あたりの生存数はn=8の二項分布になるはずだけど、
極端な値(全部死亡、全部生存)が多かった。

「それはなぜ？」と考えて要因を探るのも統計モデリングの仕事。
「普通はこれに従うはず」を理解してこそできる思考。

疑似乱数生成器 Pseudo Random Number Generator

コンピューター上でランダムっぽい数値を出力する装置。
実際には決定論的に計算されているので、
シード(出発点)と呼び出し回数が同じなら出る数も同じになる。

set.seed(42)
runif(3L)
# 0.9148060 0.9370754 0.2861395
runif(3L)
# 0.8304476 0.6417455 0.5190959
set.seed(42)
runif(6L)
# 0.9148060 0.9370754 0.2861395 0.8304476 0.6417455 0.5190959

シードに適当な固定値を与えておくことで再現性を保てる。
ただし「このシードじゃないと良い結果が出ない」はダメ。

さまざまな「分布に従う」乱数を生成することもできる。

いろんな乱数を生成・可視化して感覚を掴もう

n = 100
x = sample.int(6, n, replace = TRUE)
x = runif(n, min = 0, max = 1)
x = rgeom(n, prob = 0.5)
x = rbinom(n, size = 3, prob = 0.5)
x = rpois(n, lambda = 10)
x = rnorm(n, mean = 50, sd = 10)
print(x)

p1 = ggplot(data.frame(x)) + aes(x)
p1 + geom_histogram() # for continuous values
p1 + geom_bar()       # for discrete values

🔰 小さい n から徐々に大きくして変化を確認しよう。

🔰 ほかのオプションもいろいろ変えて変化を確認しよう。

🔰 1%の当たりを狙って10連ガチャを回す人が100万人いたら、
全部はずれ、1つ当たり、2つ当たり… の人はどれくらいいるか？

データに分布をあてはめたい

ある植物を50個体調べて、それぞれの種子数Xを数えた。

カウントデータだからポアソン分布っぽい。
ポアソン分布のパラメータ $\lambda$ はどう決める？

データに分布をあてはめたい

ある植物を50個体調べて、それぞれの種子数Xを数えた。

カウントデータだからポアソン分布っぽい。
ポアソン分布のパラメータ $\lambda$ はどう決める？
(黒が観察データ。青がポアソン分布。よく重なるのは？)

尤ゆう度 (likelihood)

尤もっともらしさ。 モデルのあてはまりの良さの尺度のひとつ。

あるモデル$M$の下でそのデータ$D$が観察される確率。
定義通り素直に書くと
$\text{Prob}(D \mid M)$

データ$D$を固定し、モデル$M$の関数とみなしたものが尤度関数:
$L(M \mid D)$

モデルの構造も固定してパラメータ$\theta$だけ動かす場合はこう書く:
$L(\theta \mid D)$ とか $L(\theta)$ とか

尤度を手計算できる例

コインを5枚投げた結果 $D$: 表 4, 裏 1

表が出る確率 $p = 0.5$ と仮定:

表が出る確率 $p = 0.8$ と仮定:

$L(0.8 \mid D) > L(0.5 \mid D)$

$p = 0.8$ のほうがより尤もらしい。

種子数ポアソン分布の例でも尤度を計算してみる

ある植物が作った種子を数える。$n = 50$個体ぶん。

この中では $\lambda = 3$ がいいけど、より尤もらしい値を求めたい。

最尤推定 Maximum Likelihood Estimation

扱いやすい 対数尤度 (log likelihood) にしてから計算する。
一階微分が0になる $\lambda$ を求めると…この場合は標本平均と一致。

最尤推定を使っても“真のλ”は得られない

今回のデータは真の生成ルール“$X \sim \text{Poisson}(\lambda = 3.0)$”で作った。
「50個体サンプル→最尤推定」を1,000回繰り返してみると:

サンプルの取れ方によってはかなりズレた推定をしてしまう。
(標本データへのあてはまりはかなり良く見えるのに！)

サンプルサイズを増やすほどマシにはなる

“$X \sim \text{Poisson}(\lambda = 3.0)$”からnサンプル→最尤推定を1,000回繰り返す:

Q. じゃあどれくらいのサンプル数nを確保すればいいのか？
A. 推定したい統計量とか、許容できる誤差とかによる。

すべてのモデルは間違っている

確率分布がいい感じに最尤推定できたとしても、
それはあくまでモデル。仮定。近似。

All models are wrong, but some are useful. — George E. P. Box

統計モデリングの道具 — まとめ

• 何はともあれ作図して俯瞰
• 確率変数 $X$
• 確率分布 $X \sim f(\theta)$
  • 少ないパラメータ $\theta$ でばらつきの様子を表現
  • この現象はこの分布を作りがち(〜に従う) という知見がある
• 尤度
  • あるモデルでこのデータになる確率 $\text{Prob}(D \mid M)$
  • データ固定でモデル探索 → 尤度関数 $L(M \mid D),~L(\theta \mid D)$
  • 対数を取ったほうが扱いやすい → 対数尤度 $\log L(M \mid D)$
  • これを最大化するようなパラメータ $\hat \theta$ 探し ＝ 最尤法

🔰 3日目の課題2

サイコロを10回振ったら6の目が3回出た。

1. 6の目の出る確率が1/6だとした場合の尤度は?

2. 6の目の出る確率が0.2だとした場合の尤度は?

3. 横軸を6の目の出る確率、縦軸を対数尤度とするグラフを描こう。

4. このサイコロで6の目が出る確率を最尤推定しよう。
   数学で解ければ優。Rで見つければ良。目分量・勘で可。

ヒント

確率pで当たるクジをn回引いてk回当たる確率、と同じ計算を使う。

数学の $\binom 5 2 = {}_5 \mathrm{C} _2 = 10$ はRでは choose(5, 2) 。

参考文献

• データ解析のための統計モデリング入門 久保拓弥 2012
• StanとRでベイズ統計モデリング 松浦健太郎 2016
• RとStanではじめる ベイズ統計モデリングによるデータ分析入門 馬場真哉 2019
• データ分析のための数理モデル入門 江崎貴裕 2020
• 分析者のためのデータ解釈学入門 江崎貴裕 2020
• 統計学を哲学する 大塚淳 2020
• 科学とモデル—シミュレーションの哲学 入門 Michael Weisberg 2017
  (原著: Simulation and Similarity 2013)