統計モデリング入門 2026 岩手連大

岩嵜 航
東北大学 生命科学研究科 進化ゲノミクス分野 牧野研 特任助教
  1. 導入、直線回帰
  2. 確率分布、擬似乱数生成
  3. 尤度、最尤推定
  4. 一般化線形モデル(GLM)
  5. 個体差、一般化線形混合モデル(GLMM)
  6. ベイズの定理、事後分布、MCMC
  7. StanでGLM
  8. 階層ベイズモデル(HBM)
2026-06-29 岩手大学 連合農学研究科
https://heavywatal.github.io/slides/iwate2026stats/

有名な確率分布対応関係ふりかえり

離散一様分布
コインの表裏、サイコロの出目1–6
負の二項分布 (幾何分布 if n = 1)
成功率pの試行がn回成功するまでの失敗回数
二項分布
成功率p、試行回数nのうちの成功回数
ポアソン分布
単位時間あたり平均$\lambda$回起こる事象の発生回数
ガンマ分布 (指数分布 if k = 1)
ポアソン過程でk回起こるまでの待ち時間
正規分布
確率変数の和、平均値。使い勝手が良く、よく登場する。

データに分布をあてはめたい

ある植物を50個体調べて、それぞれの種子数Xを数えた。
個体Aは種2個、個体Bは種4個、、、サンプルサイズ n = 50 のデータ。

plot of chunk poisson-seed

カウントデータだし形もポアソン分布っぽい。
分布のパラメータ $\lambda$ はどれくらいがいいだろう？

データに分布をあてはめたい

ある植物を50個体調べて、それぞれの種子数Xを数えた。
個体Aは種2個、個体Bは種4個、、、サンプルサイズ n = 50 のデータ。

plot of chunk poisson-seed-lambda

カウントデータだし形もポアソン分布っぽい。
分布のパラメータ $\lambda$ はどれくらいがいいだろう？

黒が観察データ。青がポアソン分布。 よく重なるのは $\lambda \approx 3$ くらいか。

尤ゆう度 (likelihood)

尤もっともらしさ。 モデルのあてはまりの良さの尺度のひとつ。

あるモデル$M$の下でそのデータ$D$が観察される確率。
定義通り素直に書くと
$\Pr(D \mid M)$

データ$D$を固定し、モデル$M$の関数とみなしたものが尤度関数:
$L(M \mid D)$

モデルの構造も固定してパラメータ$\theta$だけ動かす場合はこう書く:
$L(\theta \mid D)$ とか $L(\theta)$ とか

尤度を手計算できる例

コインを5枚投げた結果 $D$: 表 4, 裏 1

表が出る確率 $p = 0.5$ と仮定:

\[\begin{split} L(0.5 \mid D) &= \binom 5 1 \times \Pr(\text{表} \mid 0.5) ^ 4 \times \Pr(\text{裏} \mid 0.5) ^ 1 \\ &= 5 \times 0.5 ^ 4 \times 0.5 ^ 1 = 0.15625 \end{split}\]

表が出る確率 $p = 0.8$ と仮定:

\[\begin{split} L(0.8 \mid D) &= \binom 5 1 \times \Pr(\text{表} \mid 0.8) ^ 4 \times \Pr(\text{裏} \mid 0.8) ^ 1 \\ &= 5 \times 0.8 ^ 4 \times 0.2 ^ 1 = 0.4096 \end{split}\]

$L(0.8 \mid D) > L(0.5 \mid D)$

$p = 0.8$ のほうがより尤もらしい。

種子数ポアソン分布の例でも尤度を計算してみる

$n = 50$個体ぶん、且つ、且つ、且つ、と確率を掛けていく:

\[\begin{split} L(\lambda \mid D) = \prod _i ^n \Pr(X_i \mid \lambda) = \prod _i ^n \frac {\lambda ^ {X_i} e ^ {-\lambda}} {X_i !} \end{split}\]

plot of chunk poisson-seed-likelihood

この中では $\lambda = 3$ がいいけど、より尤もらしい値を求めたい。

最尤推定 Maximum Likelihood Estimation

扱いやすい 対数尤度 (log likelihood) にしてから計算する。
一階微分が0になる $\lambda$ を求めると…標本平均と一致。

\[\begin{split} \log L(\lambda \mid D) &= \sum _i ^n \left[ X_i \log (\lambda) - \lambda - \log (X_i !) \right] \\ \frac {\mathrm d \log L(\lambda \mid D)} {\mathrm d \lambda} &= \frac 1 \lambda \sum _i ^n X_i - n = 0 \\ \hat \lambda &= \frac 1 n \sum _i ^n X_i \end{split}\]

plot of chunk poisson-mle

最尤推定を使っても“真のλ”は得られない

今回のデータは真の生成ルール“$X \sim \text{Poisson}(\lambda = 3.0)$”で作った。
「50個体サンプル→最尤推定」を1,000回繰り返してみると:

plot of chunk poisson-mle-repl

サンプルの取れ方によってはかなりズレた推定をしてしまう。
(標本データへのあてはまりはかなり良く見えるのに！)

サンプルサイズを増やすほどマシにはなる

“$X \sim \text{Poisson}(\lambda = 3.0)$”からnサンプル→最尤推定を1,000回繰り返す:

plot of chunk poisson-mle-nsam

Q. じゃあどれくらいのサンプル数nを確保すればいいのか？
A. 推定したい統計量とか、許容できる誤差とかによる。

すべてのモデルは間違っている

確率分布がいい感じに最尤推定できたとしても、
それはあくまでモデル。仮定。近似。

All models are wrong, but some are useful. — George E. P. Box

「データ分析のための数理モデル入門」江崎貴裕 2020 より改変

統計モデリングの道具 — まとめ

  • 何はともあれ作図して俯瞰
  • 確率変数 $X$
  • 確率分布 $X \sim f(\theta)$
    • 少ないパラメータ $\theta$ でばらつきの様子を表現
    • この現象はこの分布を作りがち(〜に従う) という知見がある
  • 尤度
    • あるモデルでこのデータになる確率 $\Pr(D \mid M)$
    • データ固定でモデル探索 → 尤度関数 $L(M \mid D),~L(\theta \mid D)$
    • 対数を取ったほうが扱いやすい → 対数尤度 $\log L(M \mid D)$
    • これを最大化するようなパラメータ $\hat \theta$ 探し ＝ 最尤法

🔰 尤度の練習問題

サイコロを10回振ったら6の目が3回出た。

  1. 6の目の出る確率が1/6だとした場合の尤度は?
  2. 6の目の出る確率が0.2だとした場合の尤度は?
  3. 横軸を6の目の出る確率、縦軸を対数尤度とするグラフを描こう。
  4. このサイコロで6の目が出る確率を最尤推定しよう。
    数学で解ければ優。Rで見つければ良。目分量・勘で可。
ヒント
確率pで当たるクジをn回引いてk回当たる確率、と同じ計算を使う。
数学の $\binom 5 2 = {}_5 \mathrm{C} _2 = 10$ はRでは choose(5, 2) 。

参考文献

4. 一般化線形モデル(GLM)