統計モデリング概論 DSHC 2022

1. 導入
2. 統計モデルの基本: 確率分布、尤度
3. 一般化線形モデル、混合モデル
4. ベイズ推定とMCMC
5. StanでGLM
6. Stanで階層ベイズモデル

データを使ってやりたいこと

• 現象を理解したい
• 将来を予測したい
• ものを分類・判別したい
• 挙動を制御したい
• 新しい何かを生成したい

そのために解析は必要？ 未加工の生データこそ宝？

データ解析って必要？ 生データ見ればいいべ？

往々にして複雑過ぎ、情報多すぎ、そのままでは手に負えない

print(ggplot2::diamonds)

      carat       cut color clarity depth table price     x     y     z
      <dbl>     <ord> <ord>   <ord> <dbl> <dbl> <int> <dbl> <dbl> <dbl>
    1  0.23     Ideal     E     SI2  61.5    55   326  3.95  3.98  2.43
    2  0.21   Premium     E     SI1  59.8    61   326  3.89  3.84  2.31
    3  0.23      Good     E     VS1  56.9    65   327  4.05  4.07  2.31
    4  0.29   Premium     I     VS2  62.4    58   334  4.20  4.23  2.63
   --                                                                  
53937  0.72      Good     D     SI1  63.1    55  2757  5.69  5.75  3.61
53938  0.70 Very Good     D     SI1  62.8    60  2757  5.66  5.68  3.56
53939  0.86   Premium     H     SI2  61.0    58  2757  6.15  6.12  3.74
53940  0.75     Ideal     D     SI2  62.2    55  2757  5.83  5.87  3.64

ダイヤモンド53,940個について10項目の値を持つデータセット

要約統計量を見てみよう

各列の平均とか標準偏差とか:

   stat carat depth table    price
  <chr> <dbl> <dbl> <dbl>    <dbl>
1  mean  0.80 61.75 57.46  3932.80
2    sd  0.47  1.43  2.23  3989.44
3   max  5.01 79.00 95.00 18823.00

大きさ carat と価格 price の相関係数はかなり高い:

      carat depth table price
carat  1.00                  
depth  0.03  1.00            
table  0.18 -0.30  1.00      
price  0.92 -0.01  0.13  1.00

生のままよりは把握しやすいかも。

しかし要注意…

平均値ばかり見て可視化を怠ると構造を見逃す

データ可視化は理解の第一歩

情報をうまく絞って整理 → 直感的にわかる

carat が大きいほど price も高いらしい。
その度合いは clarity によって異なるらしい。

統計とは

データをうまくまとめ、それに基づいて推論するための手法。

• 記述統計: データそのものを要約する
  • 要約統計量 (e.g., 平均、標準偏差、etc.)
  • 作図、作表
• 推測統計: データの背後にある母集団・生成過程を考える
  • 数理モデル
  • 確率分布
  • パラメータ(母数)

「グラフを眺めてなんとなく分かる」以上の分析にはモデルが必要

モデルとは

対象システムを単純化・理想化して扱いやすくしたもの

Mathematical Model 数理モデル

数学的な方程式として記述されるもの。

e.g., Lotka-Volterra eq., Hill eq.

Computational Model 数値計算モデル

数値計算の手続きとして記述されるもの。

e.g., Schelling’s Segregation Model, tumopp

Concrete Model 具象モデル

具体的な事物で作られるもの。

e.g., San Francisco Bay-Delta Model

データ科学における数理モデル

データ生成をうまく真似できそうな仮定の数式表現。
 

データ科学における数理モデル

データ生成をうまく真似できそうな仮定の数式表現。
e.g., 大きいほど高く売れる: $\text{price} = A \times \text{carat} + B + \epsilon$

新しく採れたダイヤモンドの価格予想とかにも使える。

このように「YをXの関数として表す」ようなモデルを回帰と呼ぶ。

本講義の主題: 回帰

単純な直線あてはめから出発し、ちょっとずつ統計モデリング。

何でもかんでも直線あてはめではよろしくない

• 観察データは常に正の値なのに予測が負に突入してない？
• 縦軸は整数。しかものばらつきが横軸に応じて変化？
• データに合わせた統計モデルを使うとマシ

回帰は教師あり機械学習の一種とも言える

でも統計モデリングはいわゆる“機械学習”とは違う気もする…?

モデリングにおける2つのアプローチ

どっちも知っておいて使い分けたい

教科書的には概ねこんな感じとして、実際の仕事ではどうだろう？

現役データサイエンティスト2人に聞きました

• 「要因の効果はどれくらい？」
  意思決定をするのは結局人間。物事を分かった上で判断したい。
  実務の人への説明や意思決定の場面で解析の解釈性が重要。
  
• 統計モデルはデータ加工など事前の手続きが多め。
  機械学習は事前の決定が少ないので楽ちん。
• 仮説があるなら、それに基づいて統計モデリング。
  何もないところからまず機械学習で要因抽出・仮説生成するのもあり。
• 統計モデル縛り・実行環境縛りなどの案件もある。
• 分析方針を決める立場の上級職になるつもりなら統計モデルも必要。

協力: @kato_kohakuさん、@teuderさん

理想的じゃなくてもしばしば有用な回帰

本講義のお品書き

久保先生の"緑本"こと
「データ解析のための統計モデリング入門」
をベースに回帰分析の概要を紹介。

1. イントロ←いまここ
2. 統計モデルの基本
   • 確率変数・確率分布 👈 本日の主役
   • 尤度・最尤推定
3. 一般化線形モデル、混合モデル
4. ベイズ統計、階層ベイズモデル

回帰のキモは線ではなく分布

参考文献

• データ解析のための統計モデリング入門 久保拓弥 2012
• StanとRでベイズ統計モデリング 松浦健太郎 2016
• RとStanではじめる ベイズ統計モデリングによるデータ分析入門 馬場真哉 2019
• データ分析のための数理モデル入門 江崎貴裕 2020
• 分析者のためのデータ解釈学入門 江崎貴裕 2020
• 統計学を哲学する 大塚淳 2020
• 科学とモデル—シミュレーションの哲学 入門 Michael Weisberg 2017
  (原著: Simulation and Similarity 2013)